Bluepoin.com– Integral adalah salah satu topik yang sering muncul dalam mata pelajaran matematika SMA atau kuliah. Integral merupakan operasi matematika yang berhubungan dengan luas daerah di bawah kurva, volume benda putar, atau jumlah riemann. Ada dua jenis soal integral yang umum dipelajari, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
Integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas integrasi, sedangkan integral tentu adalah integral yang memiliki batas integrasi tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal integral beserta pembahasannya.
Contoh Soal Integral Tak Tentu
Integral tak tentu adalah soal integral yang hasilnya berupa fungsi dari variabel x ditambah dengan konstanta c. Integral tak tentu dapat dicari dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral, seperti:
- ∫ k dx = kx + c, dimana k adalah konstanta
- ∫ xn dx = (x^(n+1))/(n+1) + c, dimana n ≠ -1
- ∫ sin x dx = -cos x + c
- ∫ cos x dx = sin x + c
- ∫ e^x dx = e^x + c
- ∫ 1/x dx = ln |x| + c
Berikut adalah beberapa contoh soal integral tak tentu beserta pembahasannya.
Contoh 1
Hitunglah integral dari 3x^2 – 5x + 2!
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus dasar integral untuk setiap suku dalam fungsi tersebut. Kita dapat menulis: ∫ (3x^2 – 5x + 2) dx = ∫ 3x^2 dx – ∫ 5x dx + ∫ 2 dx.
Kemudian, kita dapat menghitung masing-masing integral dengan menggunakan rumus dasar integral, seperti:
- ∫ 3x^2 dx = (3/3) (x^(2+1))/(2+1) + c = x^3 + c
- ∫ 5x dx = (5/1) (x^(1+1))/(1+1) + c = (5/2) x^2 + c
- ∫ 2 dx = 2x + c
Jadi, hasil akhir dari integral tersebut adalah: ∫ (3x^2 – 5x + 2) dx = x^3 – (5/2) x^2 + 2x + c
Contoh 2
Tentukanlah integral dari (x – 2)^3!
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan metode substitusi untuk mempermudah perhitungan. Kita dapat menetapkan u = x – 2, sehingga du = dx. Dengan demikian, kita dapat menulis: ∫ (x – 2)^3 dx = ∫ u^3 du.
Kemudian, kita dapat menghitung integral tersebut dengan menggunakan rumus dasar integral untuk pangkat, seperti: ∫ u^3 du = (u^(3+1))/(3+1) + c = (1/4) u^4 + c.
Terakhir, kita kembalikan nilai u ke dalam bentuk x dengan menggunakan u = x – 2, sehingga kita mendapatkan: ∫ (x – 2)^3 dx = (1/4) (x – 2)^4 + c
Contoh Soal Integral Tentu
Integral tentu adalah soal integral yang hasilnya berupa bilangan riil yang menyatakan luas daerah di bawah kurva fungsi antara dua batas integrasi. Integral tentu dapat dicari dengan menggunakan rumus dasar integral dan sifat-sifat integral tentu, seperti:
- ∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a), dimana F(x) adalah fungsi primitif dari f(x)
- ∫_a^b k f(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx, dimana k adalah konstanta
- ∫_a^b [f(x) ± g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx ± ∫_a^b g(x) dx
- ∫_a^a f(x) dx = 0
- ∫_a^b f(x) dx = – ∫_b^a f(x) dx
Berikut adalah beberapa contoh soal integral tentu beserta pembahasannya.
Contoh 3
Hitunglah integral dari x^2 + 1 antara 0 dan 2!
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus dasar integral untuk mencari fungsi primitif dari x^2 + 1, yaitu: ∫ (x^2 + 1) dx = (x^(2+1))/(2+1) + x + c = (1/3) x^3 + x + c.
Kemudian, kita dapat menggunakan rumus dasar integral tentu untuk mencari luas daerah di bawah kurva antara 0 dan 2, yaitu: ∫_0^2 (x^2 + 1) dx = [(1/3) x^3 + x] |_0^2 = [(1/3) (2)^3 + (2)] – [(1/3) (0)^3 + (0)] = [(8/3) + 2] – [0] = (14/3).
Jadi, hasil akhir dari integral tersebut adalah 14/3.
Contoh 4
Tentukanlah nilai p yang memenuhi ∫_-p^p (x^4 – x^2 + 1) dx = 78!
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus dasar integral untuk mencari fungsi primitif dari x^4 – x^2 + 1, yaitu: ∫ (x^4 – x^2 + 1) dx = (x^(4+1))/(4+1) – (x^(2+1))/(2+1) + x + c = (1/5) x^5 – (1/3) x^3 + x + c.
Kemudian, kita dapat menggunakan rumus dasar integral tentu untuk mencari luas daerah di bawah kurva antara -p dan p, yaitu: ∫_-p^p (x^4 – x^2 + 1) dx = [(1/5) x^5 – (1/3) x^3 + x] |_-p^p = [(1/5) p^5 – (1/3) p^3 + p] – [(1/5) (-p)^5 – (1/3) (-p)^3 – p] = [(1/5) p^5 – (1/3) p^3 + p] – [-(1/5) p^5 – (1/3) p^3 + p] = [2/5] p^5 – [2/3] p^3.
Selanjutnya, kita dapat menyamakan luas daerah tersebut dengan 78, sehingga kita mendapatkan persamaan: [2/5] p^5 – [2/3] p^3 = 78.
Nah, itulah pembahasan dan contoh soal Integral yang dapat saya sajikan untuk kamu. Semoga artikel ini bermanfaat. Terima kasih!
